Resurse matematice si informatice. Fals tratat de didactica matematica

DESPRE CARTE

Sursele de dezvoltare a matematicii au ramas dintotdeauna aceleasi: cele externe – matematica lumii si cele interne – lumea matematicii. Ea a rezistat diverselor presiuni utilitariste sau mode trecatoare, fara sa-si renege achizitiile in timp. Din partea tuturor factorilor implicati – profesori, tineri studiosi, parinti – se impune ca instructia matematica sa fie armonizata cu virtutile calculatoarelor moderne, cu accentul pus pe intelegerea conceptelor, pe asimilarea lor critica, dincolo de examene si de memorarea mecanica de formule sau enunturi.

Aceasta carte nu este un manual, ci o prezentare cu accente didactice, a douasprezece subiecte stiintifice relativ independente, unde matematica se afla in consonanta cu alte stiinte, fara pretentii hegemonice. Ne adresam tuturor celor care doresc sa-si largeasca orizontul, indiferent de interesele si tendintele lor profesionale.

CUPRINS

Prefata 9

1. OBIECTE MATEMATICO-INFORMATICE FUNDAMENTALE 11
1.1. O motivatie apriorica 11
1.2. Numerele si seturile de numere 13
1.3. Largirea claselor de numere 19
1.4. Jocul cu infinitul 22
1.5. Aparitia matematicii discrete 26
1.6. Obiecte continuale, obiecte discrete 29
1.7. Cateva concepte informatice 32

2. FORMAREA DE NOI CONCEPTE MATEMATICE SI INFORMATICE 35
2.1. Generalizare si analogie 35
2.2. Constructie prin extensiune 38
2.3. Constructie prin intensiune 41
2.4. Modelare si generare de obiecte de studiu 43
2.5. Abstractizarea – drum al stiintei 49

3. RATELE DE VARIATIE CA DERIVATE SI MARIMILE ADITIVE DE DOMENIU CA INTEGRALE 52
3.1. Geneza notiunii de derivata 52
3.2. Cateva aplicatii ale derivatelor 57
3.3. Analogul discret al derivatelor 61
3.4. Elemente de analiza non standard 62
3.5. Geneza notiunii de integrala 63
3.6. Cateva aplicatii ale integralelor 67
3.7. Extinderi ale integralelor Riemann simple 69

4. PRIMA MARE UNIFICARE INTERNA A MATEMATICII: ALGEBRA – GEOMETRIA 72
4.1. Cazurile 1D, 2D, 3D 72
4.2. Elemente de geometrie n-dimensionala 75
4.3. Cele trei probleme antice si curbe „rezolvante„ ale lor 77
4.4. Elemente de geometrie proiectiva 81
4.5. Curbe plane eliptice 83
4.6. Modelul Poincare pentru geometria neeuclidiana 86

5. A DOUA MARE UNIFICARE INTERNA A MATEMATICII: ANALIZA MATEMATICA – GEOMETRIA 90
5.1. Evolutia notiunii de curba 90
5.2. Evolutia notiunii de suprafata 95
5.3. Notiune de tensor 99
5.4. Spatii metrice local euclidiene si notiunea de varietate 101

6. FORMULA LUI TAYLOR SI LEGATURI INTRE ANALIZA MATEMATICA SI INFORMATICA 107
6.1. Putina istorie 107
6.2. Motivatia si enuntul formulei lui Taylor pentru functii reale 108
6.3. Seriile Taylor; analiticitatea reala si analiticitatea complexa 112
6.4. Legaturi intre analiza matematica si informatica 116

7. SECVENTE DE MATEMATICA DISCRETA 120
7.1. Dezvoltarea matematicii discrete 120
7.2. Codificari binare 122
7.3. Calculul ca obiect in sine 124
7.4. Elemente de geometrie discreta 130

8. FENOMENE MATEMATICO-INFORMATICE 135
8.1. Multimea lui Cantor 135
8.2. Curba care „umple„ un patrat 137
8.3. Fenomenul Runge 139
8.4. Fractali 143
8.5. Fenomenul Gibbs 146
8.6. Fenomenul conversiei timp/frecventa 148
8.7. Fenomene probabiliste 153

9. MATEMATIZAREA CONCEPTULUI DE INFORMATIE 164
9.1. Descrierea statistica a cantitatii de informatiei 164
9.2. Codificari 168
9.3. Formulele lui Shannon 172
9.4. Cum se transmite informatia 174

10. CURIOZITATI MATEMATICE SI INFORMATICE 180
10.1. Curiozitati din algebra 180
10.2. Fascinatia numerelor prime si curiozitati din teoria numerelor 187
10.3. Curiozitati din analiza matematica 191
10.4. Curiozitati geometrice 197
10.5. Curiozitati legate de informatica 208

11. EURISTICA IN MATEMATICA 215
11.1. Folosirea euristicii in didactica 215
11.2. Euristica, logica si inteligenta artificiala 221
11.3. Exemple de cercetare euristica in matematica/informatica 226
11.4. Exemple de cercetare euristica in alte stiinte 232

12. O SINTEZA CULTURALA: MATEMATICA, FIZICA, INGINERIE SI INFORMATICA 243
12.1. Motivatie istorica 243
12.2. Conceptul de grup – punte intre matematica si alte domenii ale stiintei 245
12.3. Entropia – un concept universal 256
12.4. Tomografie computerizata 263
12.5. Conceptul de undina 267
12.6. Matematica si fizica 271
12.7. Matematica si stiinta calculatoarelor 284
12.8. Matematica si inginerie 286
12.9. Metabolismul matematicii si informaticii 295
12.10. Principalele descoperiri matematico-informatice din ultimul secol; lista problemelor „millenium„ 307

Bibliografie generala 310